Задача 110177

Темы:    [ Задачи с ограничениями ] [ Десятичная система счисления ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

Каких точных квадратов, не превосходящих 10²⁰, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

Решение

  Запишем каждое число, не превосходящее 10²⁰, двадцатью цифрами, дополнив его недостающими нулями в старших разрядах. Зафиксируем первые три цифры и убедимся, что при любом выборе этих трёх цифр квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвёртой цифрой 7 больше, чем квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвёртой цифрой 8.
  Нам нужно сравнить количество точных квадратов на полуинтервале  [10¹⁶ (A – 1), 10¹⁶A)  с числом точных квадратов на полуинтервале
[10¹⁶A, 10¹⁶ (A + 1) )   (A > 10⁴  – число, полученное приписыванием восьмерки к трём зафиксированным первым цифрам), то есть количество натуральных чисел на полуинтервале     с количеством натуральных чисел на полуинтервале     А так как количество натуральных чисел на полуинтервале отличается от его длины не более чем на 1, нам достаточно показать, что длины последних полуинтервалов отличаются более чем на 2. В этом можно убедиться непосредственно:

Ответ

Тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	4
	1
Класс
Класс	11
задача
Номер	05.4.11.7