ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110177
Темы:    [ Задачи с ограничениями ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Иррациональные неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каких точных квадратов, не превосходящих 1020, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?


Решение

  Запишем каждое число, не превосходящее 1020, двадцатью цифрами, дополнив его недостающими нулями в старших разрядах. Зафиксируем первые три цифры и убедимся, что при любом выборе этих трёх цифр квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвёртой цифрой 7 больше, чем квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвёртой цифрой 8.
  Нам нужно сравнить количество точных квадратов на полуинтервале  [1016 (A – 1), 1016A)  с числом точных квадратов на полуинтервале
[1016A, 1016 (A + 1) )   (A > 104  – число, полученное приписыванием восьмерки к трём зафиксированным первым цифрам), то есть количество натуральных чисел на полуинтервале     с количеством натуральных чисел на полуинтервале     А так как количество натуральных чисел на полуинтервале отличается от его длины не более чем на 1, нам достаточно показать, что длины последних полуинтервалов отличаются более чем на 2. В этом можно убедиться непосредственно:


Ответ

Тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 11
задача
Номер 05.4.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .