|
|
 |
Условие
Найдите все такие пары (a, b) натуральных чисел, что при любом натуральном n число an + bn является точной (n+1)-й степенью.
Решение 1
Пусть условие существует такая последовательность
натуральных чисел cn, что Ясно, что cn ≤ a + b, так как иначе
Значит, в последовательности cn хотя бы одно число c ≤ a + b повторяется бесконечно много раз, то есть уравнение
an + bn = cn+1 (с фиксированными a, b, c) имеет бесконечно много решений в натуральных n.
Пусть для определенности a ≥ b. Перепишем уравнение an + bn = cn+1 в виде (a/c)n + (b/c)n = c.
Если a > c, то a/c = 1 + d, где d > 0. Но тогда (a/c)n + (b/c)n > (a/c)n = (1 + d)n > 1 + nd, что больше c при n > c/d, то есть число решений уравнения конечно.
Если a ≤ c, то (a/c)n ≤ 1 и (b/c)n ≤ 1, откуда c = 2 или c = 1. Первый случай возможен только при равенстве a/c = b/c = 1, то есть при a = b = 2. Этот случай удовлетворяет условию задачи. Второй случай, очевидно, невозможен.
Решение 2
Лемма. Если (z, t) = 1, то (z + t, z² – zt + t²) = 1 или 3.
Доказательство. Это сразу следует из равенства z² – zt + t² = (z + t)² – 3zt.
Обозначим d = (a, b), a = dx, b = dy. Докажем вначале, что x = y = 1. Предположив противное, имеем xk + yk > xm + ym при k > m; в частности, для чисел Dn = x2·3n + y2·3n имеем Dn+1 > Dn при любом натуральном n. Пусть pn – некоторый простой делитель натурального числа Dn+1/Dn > 1.
Заметим, что pn ≠ 3 (согласно задаче 108744, если сумма квадратов двух чисел кратна 3, то оба числа кратны 3, а x и y взаимно просты). По лемме Dn не делится на
pn, и в разложение на простые множители любого числа Dl, где l ≥ n + 1, число pn входит в одной и той же степени (для доказательства второго утверждения нужно заметить, что число Dn+k+1/Dn+k не делится на pn, так как Dn+k делится на pn). Поэтому pn ≠ pk при n ≠ k. Очевидно, в последовательности попарно различных чисел p1, p2, ... можно выбрать такое p = pn0, что (p, d) = 1. В разложение любого числа d²3lDl, где l ≥ n0 + 1, простой множитель p входит в одной и той же степени. С другой стороны, из условия следует, что эта степень делится на 2·3l + 1 при любом натуральном l ≥ n0 + 1. Противоречие.
Итак, a = b = d. Очевидно, d ≠ 1; пусть простое число p входит в разложение d на простые множители в степени α. Рассмотрим два случая.
1) p ≠ 2. Из условия следует, что nα делится на n + 1 при любом натуральном n; значит, α делится на n + 1, что невозможно.
2) p = 2. Тогда 1 + nα делится на n + 1 при любом натуральном n, значит, 1 – α делится на n + 1. Отсюда α = 1.
Следовательно, d = 2.
Ответ
(2, 2).
