Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

   Решение

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Трапеции (прочее) ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

Решение

  Пусть ABCD – исходная трапеция с основаниями AD и BC, и пусть при отражении получаются точки A', B', C' и D' (см. рис.).
  Тогда отрезки BD и B'D' симметричны относительно AC, поэтому они равны и пересекаются на прямой AC, а именно в точке O пересечения диагоналей трапеции ABCD.
  BO : OD = CO : OA  из подобия треугольников AOD и COB. Поэтому  B'O : OD' = BO : OD = CO : OA = C'O : OA',  следовательно, треугольники A'OD' и C'OB' также подобны, и поэтому  B'C' || A'D'.

Замечания

Из решения задачи 110176 следует, что если угол между диагоналями равен 60°, то при указанном отражении точки будут лежать на одной прямой.

Источники и прецеденты использования