Задача 110189
|
|
 |
Условие
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия
{an} из натуральных чисел, что произведение
an...an+9 делится на сумму
an +... + an+9 при любом натуральном n?
Решение
Предположим, что такая прогрессия существует. Тогда число An = (2an)...(2an+9) делится на Bn = an+4 = an+5 при любом натуральном n. С другой стороны, обозначив через d разность прогрессии, имеем
An = (Bn – 9d)(Bn – 7d)...(Bn – d)(Bn + d)...(Bn + 7d)(Bn + 9d).
Значит, An = BnCn + D, где Cn – целое число, D = – d10(1·3·...·7·9)².
Из этого равенства ясно, что An не делится на Bn при Bn > D. Противоречие.
Ответ
Не существует.
