Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами  (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

   Решение

---

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

   Решение

---

Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.

   Решение

---

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

   Решение

---

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

   Решение

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Решение

  Обозначим центр вписанной окружности через I. Заметим, что  ∠IAC₀ = ∠IAB + ∠BAC₀ = ∠IAC + ∠ICA = ∠AIC₀,  то есть треугольник AIC₀ – равнобедренный,  C₀A = C₀I.  Кроме того,  ∠C₀AC₁ = ∠C₀CA,  поэтому треугольники C₀AC₁ и C₀CA подобны по двум углам. Следовательно,
C₀A : C₀C₁ = C₀C : C₀A,  то есть  C₀I : C₀C₁ = C₀C : C₀I

  Проведём через точку I прямые l и m, параллельные AC и A₁C₁ соответственно. Пусть P' – точка пересечения прямых l и A₁C₁, а Q – точка пересечения m и AC. Из доказанного соотношения следует, что при гомотетии с центром C₀, переводящей C₁ в I, точка I переходит в C, прямые l и A₁C₁ – в AC и m соответственно; поэтому точка P' переходит в Q. Следовательно, C₀ лежит на прямой P'Q. Аналогично A₀ лежит на прямой P'Q, поэтому прямые P'Q и A₀C₀ совпадают, P' лежит на A₀C₀ и совпадает с P, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования