Версия для печати
Убрать все задачи

---

В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.

   Решение

Темы:    [ Биссекторная плоскость ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Симметрия относительно плоскости ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

Решение

Продолжим отрезок AB' до пересечения с плоскостью BCD в точке B'' . Так как плоскости (BCD) и (ACD) симетричны относительно биссекторной плоскости, то AB'=B'B'' . Аналогично по точкам C' и D' строим точки C'' и D'' . При гомотетии с центром A и коэффициентом плоскость (B''C''D'') переходит в плоскость (B'C'D') , поэтому (B'C'D')|| (B''C''D'')=(BCD) , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования