Задача 110213

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 6- Классы: 10,11

Условие

Автор: Гарбер А.

У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

Решение

Назовем вершину, в которой сходится ровно 3 ребра, хорошей.
Докажем, что никакие две хорошие вершины не лежат в одной грани.
Предположим противное – пусть хорошие вершины A и B лежат в одной грани ABC . Ребро AB принадлежит еще одной грани ABD .
Поскольку вершина A – хорошая, то кроме AB , AC , AD нет других ребер, выходящих из A . В вершине A сходятся ровно 3 грани – ABC , ABD и грань, содержащая ребра AC и AD , т.е. грань ACD . Аналогично получаем, что BCD является гранью многогранника. Получается, что многогранник является тетраэдром ABCD , что противоречит условию n 3 .

Из доказанного следует, что каждой хорошей вершине можно сопоставить три грани, сходящиеся в ней, причем различным хорошим вершинам сопоставлены разные грани. Отсюда следует, что количество хороших вершин не превосходит .

Опишем построение выпуклого 2n -гранника, для которого количество хороших вершин равно [] .

Определим вначале процедуру наращивания грани многогранника T с треугольными гранями. Пусть KLM – одна из граней, KLP , LMQ , MKR – грани, отличные от KLM , содержащие соответственно ребра KL , LM , MK (точки P , Q , R не обязательно различны) (см. рис.) .

Пусть X – некоторая внутренняя точка треугольника KLM .
На перпендикуляре к плоскости KLM , восставленном в точке X , вне многогранника T выберем такую точку N , что точки K и N лежат по одну сторону от плоскости LMQ , L и N – по одну сторону от MKR , M и N – по одну сторону от KLP (этого можно добиться, выбирая длину XN достаточно малой).
Рассмотрим многогранник T' , получаемый добавлением к T пирамиды KLMN . По построению многогранник T' – выпуклый. Будем говорить, что T' получен из T наращиванием грани KLM . Если n=3 , то нарастив одну из граней тетраэдра, получим пример шестигранника с двумя хорошими вершинами.

Пусть n 4 . В зависимости от остатка при делении на 3, представим n в виде n=3k , n=3k-1 или n=3k-2 для некоторого натурального k 2.
Рассмотрим тетраэдр и нарастим некоторую его грань; у полученного многогранника нарастим еще одну грань; и т.д.
При каждой операции количество граней увеличивается на 2, поэтому через (k-2) операции мы получим выпуклый 2k -гранник, все грани которого треугольные. Отметим n-k граней этого многогранника и последовательно их нарастим. При этом образуется n-k=[] новых вершин, и каждая из них является хорошей.

Ответ

[].

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.8