|
|
 |
Условие
У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани
являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых
сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
Решение
Назовем вершину, в которой сходится ровно 3 ребра, хорошей.
Докажем, что никакие две хорошие вершины не лежат в одной грани.
Предположим противное – пусть хорошие вершины A и B лежат в одной
грани ABC . Ребро AB принадлежит еще одной грани ABD .
Поскольку вершина A – хорошая, то кроме AB , AC , AD нет
других ребер, выходящих из A . В вершине A сходятся ровно 3
грани – ABC , ABD и грань, содержащая ребра AC и AD , т.е.
грань ACD . Аналогично получаем, что BCD является гранью
многогранника. Получается, что многогранник является тетраэдром
ABCD , что противоречит условию n 3 .
Из доказанного следует, что каждой хорошей вершине можно
сопоставить три грани, сходящиеся в ней, причем различным хорошим вершинам
сопоставлены разные грани. Отсюда следует, что
количество хороших вершин не превосходит .
Опишем построение выпуклого 2n -гранника,
для которого количество хороших вершин равно [] .
Определим вначале процедуру наращивания грани многогранника T с треугольными гранями. Пусть KLM – одна из граней, KLP , LMQ , MKR – грани, отличные от KLM , содержащие соответственно ребра KL , LM , MK (точки P , Q , R не обязательно различны) (см. рис.) .
Пусть X – некоторая внутренняя точка треугольника KLM .
На перпендикуляре к плоскости KLM , восставленном в точке X , вне многогранника T выберем такую точку N , что точки K и N лежат по одну сторону от плоскости LMQ , L и N – по одну сторону от MKR , M и N – по одну сторону от KLP (этого можно добиться, выбирая длину XN достаточно малой).
Рассмотрим многогранник T' , получаемый добавлением к T пирамиды KLMN . По построению многогранник T' – выпуклый. Будем говорить, что T' получен из T наращиванием грани KLM . Если n=3 , то нарастив одну из граней тетраэдра, получим пример шестигранника с двумя хорошими вершинами.
Пусть n
Рассмотрим тетраэдр и нарастим некоторую его грань; у полученного многогранника нарастим еще одну грань; и т.д.
При каждой операции количество граней увеличивается на 2, поэтому через (k-2) операции мы получим выпуклый 2k -гранник, все грани которого треугольные. Отметим n-k граней этого многогранника и последовательно их нарастим. При этом образуется n-k=[
Ответ
[].
