Задача 110237

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Построение сечений ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Каждое из рёбер треугольной пирамиды ABCD равно 1. Точка E на ребре AB , точка F на ребре BC и точка G на ребре CD взяты так, что AE= , BF= и CG= . Плоскость EFG пересекает прямую AD в точке H . Найдите периметр треугольника HEG .

Решение

Заметим, что ABCD – правильный тетраэдр. Рассмотрим плоскость треугольника ABC . Пусть прямые EF и AC пересекаются в точке T . Через вершину B проведём прямую, параллельную AC . Пусть эта прямая пересекает прямую EF в точке M . Обозначим CT = x . Из подобия треугольников BMF и CFT находим, что BM = CT· = 3x . Из подобия треугольников BEM и AET находим, что

1 + x = AT = BM· = 3x· 2 = 6x,
откуда CT = x = . Рассмотрим плоскость треугольника ADC . Через вершину D проведём прямую, параллельную AC . Пусть эта прямая пересекает прямую TG в точке N . Поскольку прямая TG лежит в секущей плоскости, точка её пересечения с прямой AD есть точка H . Из равенства треугольников DGN и CGT находим, что ND = CT = . Из подобия треугольников DHN и AHT следует, что
= = = .
Поэтому DH = , AH = . По теореме косинусов из треугольников DGH и AEH находим, что
GH = = = ,

EH = = = .
Пусть O – центр основания ABC правильного тетраэдра ABCD , K – середина стороны AB . Тогда DO – высота тетраэдра, ортогональная проекция G1 точки G на плоскость основания лежит на прямой OC , причём G1 – середина OC . Далее имеем:
DO = , GG1 = DO = , CK = , OC = , CG1 = ,

G1K = CK - CG1 = - = , KE = AE - AK = - = ,

G1E = = = ,

EG = = = = .
Следовательно,
GH + EH + EG = + + .

Ответ

+ + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7849