Задача 110250

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Построения на проекционном чертеже ] [ Построение сечений ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Точка M принадлежит ребру CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём CM:MD = 1:2 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым DB и AC1 . В каком отношении эта плоскость делит диагональ A1C параллелепипеда?

Решение

Через прямую BD , параллельную секущей плоскости, проведена плоскость ABCD , имеющая с секущей плоскостью общую точку M . Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD по прямой, проходящей через точку M параллельно BD . Пусть K – точка пересечения этой прямой с диагональю AC параллелограмма ABCD , L – центр параллелограмма. Тогда

= = , = .
Через прямую AC1 , параллельную секущей плоскости, проведена плоскость AA1C1C , имеющая с секущей плоскостью общую точку K . Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью AA1C1C по прямой, проходящей через точку K параллельно AC1 . Пусть P – точка пересечения этой прямой с диагональю A1C параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , а O – центр параллелепипеда. Тогда
= = , 1 = .
Следовательно, = .

Ответ

1:11.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8035