Условие
Известно, что некоторая точка M в пространстве равноудалена от
вершин плоского многоугольника. Докажите, что этот многоугольник
является вписанным, причём центр его описанной окружности есть
ортогональная проекция точки M на плоскость многоугольника.
Решение
Если точка M лежит в плоскости данного многоугольника
A1A2 ... An , то утверждение очевидно. Пусть M1 –
ортогональная проекция точки M , не лежащей в плоскости многоугольника,
на эту плоскость. Тогда прямая MM1 перпендикулярна плоскости
многоугольника. Значит, прямая MM1 перпендикулярна каждой прямой
этой плоскости, в частности, прямым M1A1 , M1A2 ,..., M1An .
Поэтому треугольники A1MM1 , A2MM1 ,..., AnMM1 –
прямоугольные. Они равны по катету ( MM1 – общий катет) и гипотенузе
( MA1 = MA2 = ... = MAn по условию). Значит,
M1A1 = M1A2 = ...= M1An , т.е. M1 – центр
окружности, описанной около многоугольника A1A2 ... An .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8170 |
