Задача 110271

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что пирамида с равными боковыми рёбрами и с равными двугранными углами при основании является правильной.

Решение

Пусть SO – высота пирамиды SA1A2.. A_n с вершиной S , По условию задачи SA1 = SA2 =.. = SA_n . Значит,

OA1 = OA2 =.. = OA_n.
Медианы SM1 , SM2 , .. , SM_n равнобедренных треугольников SA1A2 , SA2A3 , .. , SA_nA1 являются высотами. Медианы OM1 , OM2 , .. , OM_n равнобедренных треугольников A1OA2 , A2OA3 , .. , A_nOA1 также являются высотами. Поэтому SM1O , SM2O , .. , SM_nO – линейные углы двугранных углов при основании пирамиды. По условию задачи
SM1O = SM2O =.. = SM_nO,
поэтому прямоугольные треугольники SM1O , SM2O , .. , SM_nO равны по катету ( SO – общий катет) и противолежащему острому углу. Значит,
OM1 = OM2 =.. = OM_n.
Следовательно, равнобедренные треугольники A1OA2 , A2OA3 , .. , A_nOA1 равны (по боковым сторонам и высотам, опущенным на основания). Поэтому все стороны и все углы многоугольника A1A2.. A_n равны. Значит, этот многоугольник правильный, а высота SO пирамиды проходит через его центр O . Следовательно, пирамида SA1A2.. A_n – правильная.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8267