Задача 110276

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Все двугранные углы при основании пирамиды равны α , а углы, образуемые боковыми рёбрами с плоскостью основания, равны β . Известно, что tg α = k tg β . Сколько сторон имеет основание пирамиды, если k = 2 ? Какие значения может принимать величина k ?

Решение

Пусть SO – высота данной пирамиды SA1A2.. A_n с вершиной S , Из условия задачи следует, что SA1 = SA2 =.. = SA_n . Значит,

OA1 = OA2 =.. = OA_n.
Медианы SM1 , SM2 , .. , SM_n равнобедренных треугольников SA1A2 , SA2A3 , .. , SA_nA1 являются высотами. Медианы OM1 , OM2 , .. , OM_n равнобедренных треугольников A1OA2 , A2OA3 , .. , A_nOA1 также являются высотами. Поэтому SM1O , SM2O , .. , SM_nO – линейные углы двугранных углов при основании пирамиды. По условию задачи
SM1O = SM2O =.. = SM_nO,
поэтому прямоугольные треугольники SM1O , SM2O , .. , SM_nO равны по катету ( SO – общий катет) и острому углу. Значит,
OM1 = OM2 =.. = OM_n.
Следовательно, равнобедренные треугольники A1OA2 , A2OA3 , .. , A_nOA1 равны (по боковым сторонам и высотам, опущенным на основания). Поэтому все стороны и все углы многоугольника A1A2.. A_n равны. Значит, этот многоугольник правильный, а высота SO пирамиды проходит через его центр O . Следовательно, пирамида SA1A2.. A_n – правильная. Пусть
OM1 = OM2 =.. = OM_n = r, OA1 = OA2 =.. = OA_n = R
( r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника A1A2.. A_n ). Тогда
r = , R = .
Обозначим через ϕ угол правильного многоугольника A1A2.. A_n . Тогда
ϕ = , = 90^o - , cos = sin = = = .
Если k = 2 , то
sin = , = 30^o, ϕ = 60^o.
В этом случае n = 3 . Из равенства cos = следует, что число k может принимать любые значения вида , где n = 3 , 4,

Ответ

n = 3 ; k = , сСт n = 3 , 4,

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8272