Задача 110281

Тема:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На гранях правильного тетраэдра с ребром a как на основаниях построены равные правильные пирамиды. Плоские углы в этих пирамидах при вершинах, противолежащих граням тетраэдра, прямые. Рассмотрим многогранник, образованный тетраэдром и построенными пирамидами. Сколько граней у этого многогранника? Как он называется?

Решение

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 . Все рёбра треугольной пирамиды ACB1D1 равны. Значит, эта пирамида – правильный тетраэдр. На боковых гранях правильного тетраэдра ACB1D1 как на основаниях построены правильные треугольные пирамиды DACD1 с вершиной D , A1AB1D1 с вершиной A1 , BAB1C с вершиной B и C1CB1D1 с вершиной C1 . Плоские углы при вершинах этих четырёх пирамид равны по 90^o . Обратно, для любого правильного тетраэдра существует единственный куб, скрещивающиеся диагонали противоположных граней которого являются рёбрами данного правильного тетраэдра (достаточно провести через скрещивающиеся диагонали противоположных граней тетраэдра три пары параллельных плоскостей). На боковой грани этого тетраэдра как на основании можно построить внешним образом единственную правильную треугольную пирамиду, плоские углы при вершине которой прямые. Ясно, что боковые грани такой пирамиды лежат в гранях куба.

Ответ

6 граней; куб.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8277