Информация о задаче

Задача 110289

Темы:	[	Конус	]
Темы:	[	Касательные к сферам	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Осевым сечением конуса является правильный треугольник со стороной a. Через ось конуса проведены две перпендикулярные плоскости, которые делят конус на четыре части. Найдите радиус сферы, вписанной в одну из этих частей.

Решение

Пусть P ─ вершина конуса, O ─ центр основания, r ─ радиус сферы с центром Q, касающейся перпендикулярных плоскостей COP и DOP, плоскости основания конуса ─ в точке M, а боковой поверхности конуса ─ в точке F. Можно считать, что
OC = OD =
a
2
, OP =
a√ 3
2
.

Через высоту PO конуса и параллельную ей прямую QM проведём плоскость. Получим осевое сечение конуса ─ равносторонний треугольник APB со стороной a. Окружность радиуса r с центром Q вписана в угол PAO, поэтому

AM = QM ctg ∠MAQ = r ctg 30° = r√ 3 .

Пусть прямая OQ образует с плоскостью основания конуса угол α. Тогда

OM = QM ctg ∠MOQ = r ctg α.

Поскольку OA = AM + OM, имеем уравнение

a
2
= r
√ 3
+ r ctg α.

Таким образом, для решения задачи достаточно найти ctg α.

Рассмотрим куб с вершиной L. Его диагональ, проведённая из вершины L, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершину L, угол, также равный α. Если ребро
куба равно c, то его диагональ грани равна c
√ 2
. Значит,

ctg α =
c√ 2
c
=
√ 2
.

Из уравнения
a
2
= r
√ 3
+ r
√ 2
находим, что r =
a(√ 3 − √ 2 )
2
.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8387