Задача 110295

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильный тетраэдр ] [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Внутри правильного тетраэдра с ребром a расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.

Решение

Пусть r – искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r . Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O данного правильного тетраэдра. Пусть шар радиуса r с центром O1 , вписанный в трёхгранный угол с вершиной D , касается плоскости грани ABD данного правильного тетраэдра ABCD со стороной a в точке P . Тогда

O1P = r, OD = · a = , OO1 = · · 2r = ,

O1D = OD - OO1 = - = .
Пусть M – центр основания ABC , K – середина AB , ϕ – угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK находим, что
sin ϕ = = =
Значит,
O1D = , или = 3r,
откуда находим, что
r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8397