|
|
 |
Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно,
что AB = AA1 = 12 и AD = 30 . Точка M расположена в грани
ABB1A1 на расстоянии 1 от середины AB и на равных расстояниях
от вершин A и B . Точка N лежит в грани DCC1D1 и расположена
симметрично точке M относительно центра параллелепипеда. Найдите
длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками
M и N .
Решение
Предположим, что путь пересекает рёбра A1B1 и C1D1 (или рёбра
AB и CD ). В этом случае (рис.2) длина кратчайшего пути равна
11 + 30 + 1 = 42 .
Предположим, что путь последовательно пересекает рёбра BB1 ,
B1C1 и C1D1 . Рассмотрим часть такой развёртки параллелепипеда,
которая содержит прямоугольники A1B1C1D1 и BB1C1C с общей
стороной B1C1 , квадрат CDD1C1 , имеющий общую сторону D1C1
с прямоугольником A1B1C1D1 , и квадрат AA1B1B , имеющий общую
сторону BB1 с прямоугольником BB1C1C . По теореме Пифагора находим,
что в этом случае кратчайший путь равен =
.
Если же путь последовательно пересекает рёбра AB , BC , B1C1 и
C1D1 , то рассмотрим часть такой развертки параллелепипеда (рис.3), которая
содержит прямоугольники ABCD и BCC1B1 с общей стороной BC ,
прямоугольники A1B1C1D1 и BB1C1C с общей стороной B1C1 ,
квадрат CDD1C1 , имеющий общую сторону C1D1 с прямоугольником
A1B1C1D1 , и квадрат ABB1A1 , имеющий общую сторону AB с
прямоугольником ABCD . По теореме Пифагора находим, что в этом случае кратчайший
путь равен
= 40 .
Таким образом, самый короткий из рассмотренных путей равен 40.
Остальные возможные пути очевидно длиннее.
Ответ
40.00
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8421 |
