Задача 110300

Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ] [ Правильный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.

Решение

Пусть M и N – середины противоположных рёбер AB и CD правильного тетраэдра ABCD (рис.1), а путь между M и N пересекает ребро AC . Рассмотрим развёртку тетраэдра, состоящую из четырёх равносторонних треугольников: ABC , D1AB , D2AC и D3BC (рис.2). Тогда искомый кратчайший путь – это кратчайший путь между серединой M отрезка AB и серединой N' отрезка D2C . Длина этого пути равна 1. Аналогично для кратчайших путей, пересекающих рёбра AD , CD или BD . Все остальные возможные пути очевидно длиннее.

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8422