Задача 110301

Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ] [ Куб ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.

Решение

Предположим, что путь между противоположными вершинами A1 и C единичного куба ABCDA1B1C1D1 пересекает ребро AD (рис.1). Рассмотрим часть такой развёртки куба, которая содержит квадраты AA1D1D и ABCD с общей стороной AD (рис.2). В этом случае кратчайший путь проходит через середину M стороны AD , а его длина равна

A1M + MC = + = .
Аналогично для кратчайших путей, пересекающих рёбра B1C1 , C1D1 , AB , BB1 или DD1 . Все остальные возможные пути очевидно длиннее.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8423