Условие
Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба
между серединой его ребра и наиболее удалённой от неё точки
поверхности куба.
Решение
Пусть $M$ – середина ребра $AA_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Рассмотрим кратчайший путь по поверхности куба между точкой $M$ и
произвольной точкой $N$ грани $ABCD$. Тогда этот путь должен пересекать ребро $AD$ (или $AB$). Сделав развёртку куба, частью которой являются квадраты $AA_1DD_1D$ и $ABCD$ с общей стороной $AD$, получим, что наиболее удалённая от $M$ точка — это точка $C$. В этом случае минимальный путь равен
$$\sqrt{\big(\frac32\big)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{13}}2.$$
Рассмотрим кратчайший путь по поверхности куба между точкой $M$ и произвольной точкой грани $BBB_1C_1C$. Тогда этот путь должен пересекать ребро $BBB_1$. Сделав развёртку куба, частью которой являются квадраты $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ с общей стороной $BB_1$, получим, что наиболее удалённая от $M$ точка — это точка $C$ (или $C_1$). В этом случае минимальный путь равен
$$\sqrt{\big(\frac12\big)^2 + 2^2} = \frac{\sqrt{17}}2.$$
Аналогично, для остальных граней куба. Следовательно, наиболее удалённая от $M$ точка поверхности куба — это точка $C$ (или $C_1$), а кратчайший путь равен $\frac{\sqrt{13}}2.$
Ответ
$\frac{\sqrt{13}}{2}$.
Замечания
В решении рассматриваются расстояния до точек куба, наиболее удалённых от середины ребра в пространстве. Точки, наиболее удалённые от середины ребра куба в терминах расстояния по поверхности куба, делят противоположное ребро в отношении $1:2$ и $2:1$. Расстояние от $M$ до такой точки равно $\frac{\sqrt{145}}{6}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8424 |
