Задача 110303

Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ] [ Правильная пирамида ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.

Решение

Пусть A – вершина основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD (рис.1). Рассмотрим развёртку боковой поверхности пирамиды, состоящую из четырёх равных равнобедренных треугольников A'P'B' , B'P'C' , C'P'В' и D'P'A'' с углом α , при их общей вершине P' . Если α 45^o , то A'P'A'' 180^o , поэтому указанный путь из A в A по поверхности пирамиды равен сумме отрезков A'M , MN , NK и KA'' , где точки M , N и K лежат на отрезках B'P' , C'P' и D'P' соответственно (рис.2). В этом случае

A'M + MN + NK + KA'' A'A'' = 2A'P' sin 2α = 2b sin 2α,
а искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке есть отрезок A'A'' . Если же α > 45^o (рис.3), то A'P'N = NP'A'' = 2α > 90^o , поэтому
A'M + MN + NK + KA'' = (A'M + MN) + (NK + KA'')

A'N + NA'' A'P' + A''P' = 2b
(в тругольниках A'P'N и A''P'N стороны A'N и A''N лежат против тупых углов). В этом случае искомый кратчайший путь на рассматриваемой развёртке состоит из отрезков A'P' и P'A'' .

Ответ

2b sin 2α , если α 45^o ; 2b , если 45^o < α < 90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8425