Условие
Радиус основания конуса и образующая равны соответственно $\frac23$ и 2. Найдите длину кратчайшего замкнутого пути, пересекающего все образующие конуса и проходящего через конец одной из них, принадлежащий основанию.
Решение
Пусть $r$ – радиус основания конуса с вершиной $P$ (рис.1), $l$ –
образующая, $r = \frac23$, $l = 2$, $A$ – точка на окружности основания
конуса. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор $A'P'A''$ окружности радиуса $l$, длина дуги $A'A''$ которого равна $2 \pi r$ (рис.2).
Если $\alpha$ – угол этого сектора, то
$$\alpha; = 2 \pi \cdot \frac{r}{l} = 2 \pi \frac{2/3}{2} = \frac{2 \pi}{3}.$$
Искомый кратчайший путь равен кратчайшему пути между точками $A'$ и $A''$ по рассматриваемой развёртке, т.е. длине отрезка $A'A''$. Из равнобедренного треугольника $A'P'A''$ находим, что
$$ A'A'' = 2 A'P' \sin \frac12 \angle A'P'A'' = 2 l \sin \frac{\pi}3 = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.$$
Ответ
$2 \sqrt{3}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8426 |
