Задача 110306

Темы:    [ Кратчайший путь по поверхности ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В вершине A прямоугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b сидит паук, а в противоположной вершине – муха. Их разделяет вертикальная стенка в виде равнобедренного треугольника BMD с основанием BD и углом α при вершине M . Найдите длину кратчайшего пути от паука к мухе, если известно, что паук может двигаться лишь по той части плоскости прямоугольника, где находится стена (включая границу прямоугольника), и по самой стене.

Решение

Обозначим ADB = β . Предположим, что путь паука состоит из последовательных отрезков AP , PQ , QP и PC , где точка P лежит на диагонали BD прямоугольника ABCD , а точка Q – на боковой стороне, например, BM , треугольника BMD . Рассмотрим развёртку данной конфигурации, состоящую из прямоугольного треугольника ABD , равнобедренного треугольника BMD , равного ему равнобедренного треугольника BMD' и прямоугольного треугольника BD'C' с прямым углом при вершине C' , равного треугольнику DAB . При этом любые два соседних из указанных четырёх треугольников имеют ровно одну общую сторону, точке P соответствуют точки P' и P'' отрезков BD и BD' , а точке Q – точка Q' отрезка BM . Если α 90^o , то все точки отрезка AC' принадлежат развёртке. Тогда

AP' + P'Q' + Q'P'' + P''C' AC',

ABC' = ABD + DBM' + M'BD' + D'BC' =

= 90^o - β + 2(90^o - α) + β = 270^o - α 180^o.
Значит, искомый кратчайший путь равен длине отрезка AC' . По теореме косинусов из треугольника ABC' находим, что
AC' = =

= = .
Если α < 90^o , то кратчайший путь будет проходить по сторонам AB и BC (или AD и DC ) и будет равен a+b .

Ответ

, если 90^o α < 180^o ; a+b , если α < 90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8428