Условие
В вершине A прямоугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b
сидит паук, а в противоположной вершине – муха. Их разделяет
вертикальная стенка в виде равнобедренного треугольника BMD с
основанием BD и углом α при вершине M . Найдите длину кратчайшего
пути от паука к мухе, если известно, что паук может двигаться лишь
по той части плоскости прямоугольника, где находится стена (включая
границу прямоугольника), и по самой стене.
Решение
Обозначим 
ADB = β . Предположим, что путь паука состоит из
последовательных отрезков AP , PQ , QP и PC , где точка P лежит на
диагонали BD прямоугольника ABCD , а точка Q – на боковой стороне,
например, BM , треугольника BMD . Рассмотрим развёртку данной
конфигурации, состоящую из прямоугольного треугольника ABD ,
равнобедренного треугольника BMD , равного ему равнобедренного
треугольника BMD' и прямоугольного треугольника BD'C' с прямым
углом при вершине C' , равного треугольнику DAB . При этом любые два
соседних из указанных четырёх треугольников имеют ровно одну общую
сторону, точке P соответствуют точки P' и P'' отрезков BD и BD' , а
точке Q – точка Q' отрезка BM . Если α 
90o , то все
точки отрезка AC' принадлежат развёртке. Тогда
AP' + P'Q' + Q'P'' + P''C' AC',
ABC' = ABD + DBM' + M'BD' + D'BC' =
= 90o - β + 2(90o - 
α) + β =
270o - α 
180o.
Значит, искомый кратчайший путь равен длине отрезка
AC' . По теореме косинусов из треугольника
ABC' находим, что
AC' = 
=
= 
=
.
Если
α < 90
o , то кратчайший путь будет проходить по сторонам
AB и
BC (или
AD и
DC ) и будет равен
a+b .
Ответ
, если
90o α < 180o ;
a+b , если α < 90o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8428 |
