Задача 110307

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Равногранный тетраэдр ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся равны c . Найдите косинус угла между рёбрами, равными a .

Решение

Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Так как противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, то диагонали каждой грани полученного параллелепипеда также равны. Поэтому все грани параллелепипеда – прямоугольники. Значит, параллелепипед – прямоугольный. Пусть ABCDA1B1C1D1 – полученный прямоугольный параллелепипед, а ACB1D1 – исходный тетраэдр, в котором

AC = B1D1 = a, AD1 = B1C = b, AB1 = D1C = c.
Искомый угол равен углу между диагоналями прямоугольника ABCD . Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда

Сложим почленно первое и второе уравнение системы и вычтем из результата третье. Получим, что
y2 = (a2 + b2 - c2).
Пусть α – искомый угол между прямыми AC и D1B1 , а O – центр прямоугольника ABCD . По теореме косинусов из треугольника BOC находим, что
cos α = | cos BOC| = || =

= || = ||= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8429