Задача 110308

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся ребра равны c . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Так как противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, то диагонали каждой грани полученного параллелепипеда также равны. Поэтому все грани параллелепипеда – прямоугольники. Значит, параллелепипед – прямоугольный. Около него можно описать сферу. Эта сфера проходит через все вершины тетраэдра. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда. Пусть ABCDA1B1C1D1 – полученный прямоугольный параллелепипед, а ACB1D1 – исходный тетраэдр, в котором

AC = B1D1 = a, AD1 = B1C = b, AB1 = D1C = c.
Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z . Тогда

откуда находим, что
x2 + y2 + z2 = (a2 + b2 + c2).
Пусть R – искомый радиус. Тогда
R = AC1 = = =

= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8430