Задача 110317

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Два шара одного радиуса и два – другого расположены так, что каждый шар касается трёх других и одной плоскости. Найдите отношение радиуса большего шара к радиусу меньшего.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры больших шаров радиуса R , A и B – их точки касания с данной плоскостью; O3 и O4 – центры меньших шаров радиуса r ; C и D – их точки касания с данной плоскостью. Тогда ACBD – ромб (рис.1) со стороной 2 (рис.2) и диагоналями 2r и 2R . Поэтому AC = . Из уравнения

2 =
находим, что = 2 . Так как > 1 , то искомое отношение равно 2 + .

Ответ

2 + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8439