Задача 110318

Темы:    [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Объем параллелепипеда ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В вершинах единичного квадрата восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них по одну сторону от плоскости квадрата взяты точки на расстояниях 3, 4, 6 и 5 от этой плоскости (в порядке обхода). Найдите объём многогранника, вершинами которого являются указанные точки и вершины квадрата.

Решение

  Пусть ABCD – единичный квадрат, а A₁, B₁, C₁ и D₁ – указанные точки на перпендикулярах к его плоскости, причём  AA₁ = 3,  BB₁ = 4,  CC₁ = 6,  DD₁ = 5.
  Продолжим перпендикуляры до отрезков  AA₂ = BB₂ = CC₂ = DD₂ = 9.  Заметим, что A₁B₁C₁D₁ – паралелограмм (например, потому что середины отрезков A₁C₁ и B₁D₁ совпадают). Следовательно, точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости, которая делит паралеллепипед ABCDA₂B₂C₂D₂ на две равные фигуры. Поскольку объем указанного паралеллепипеда равен 9, то объем каждой из половинок равен ⁹/₂.

Ответ

4,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8451