Задача 110322

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Правильный тетраэдр ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку провежены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём оставшейся части тетраэдра.

Решение

Высота правильного тетраэдра со стороной 1 равна , площадь основания равна . Следовательно, если V – объём такого тетраэдра, то

V = · · = .
Пусть точка M лежит на ребре CD данного правильного тетраэдра ABCD , причём = . Первая плоскость проходит через точку M параллельно плоскости ABC . Она отсекает от данного тетраэдра подобный ему тетраэдр, причём коэфиициент подобия равен = . Значит, объём отсечённого тетраэдра равен ()3· V = V . Вторая плоскость проходит через точку M параллельно плоскости ABD . Она отсекает от данного тетраэдра подобные ему тетраэдр, причём коэффициент подобия равен = . Значит, объём отсечённого тетраэдра равен ()3· V = V . Следовательно, объём оставшейся части тетраэдра равен
V - V - V = V - V = V = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8455