Задача 110332

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с радиусом r вписанной сферы и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

Решение

Пусть Q – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную треугольную пирамиду ABCD с вершиной D , K – середина BC (рис.1). Точка Q лежит на прямой DM , где M – центр основания ABC . Обозначим AB = BC = AC = a , DKM = β . Тогда

BM = , KM = , DM = BM tg MBD = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки D , K и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром Q на прямой DM , касающуюся стороны KM угла DKM в точке M . Из прямоугольного треугольника KMQ находим, что
r = QM = MK tg MKQ = tg = ,
откуда tg = . Из прямоугольного треугольника DMK находим, что
tg β = tg DKM = = = 2 tg α.
Подставив tg β = 2 tg α в формулу
tg β = ,
получим уравнение
tg α = ,
или
tg α = = a2 tg α - 2ar - 12r2 tg α = 0,
откуда
a = = .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · DM = · a2· DM = a2· =

=a3 tg α = ()3 tg α=

=· · tg2 α = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8515