Задача 110356

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с радиусом r вписанной сферы и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

Решение

Пусть O – центр сферы радиуса r , вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду PABCD с вершиной P , K – середина BC (рис.1). Точка O лежит на прямой PM , где M – центр основания ABCD . Обозначим AB = BC = CD = AD = a , PKM = β . Тогда KM = , CM = . Из прямоугольных треугольников CMP и KMP находим, что

PM = CM· tg PCM = tg α, PM = KM· tg PKM = tg β.
Из уравнения = находим, что tg β = tg α . Обозначим tg = t . Тогда
tg α = tg β = ,
откуда находим, что
tg = t = .
Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью, проходящей через точки P , K и M (рис.2). Получим окружность радиуса r с центром O на прямой PM , касающуюся стороны KM угла PKM в точке M , а стороны PK – в некоторой точке N . Так как KO – биссектриса угла PKM , то OKM = . Из прямоугольного треугольника OMK находим, что
= MK = = =

= = ,
откуда
a = .
Значит,
PM = CM tg PCM = tg α = r( + 1).
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PM = a2· PM = a2· tg α =

=a3 tg α = · · tg α = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8539