Число x таково, что число x +  — целое. Докажите, что при любом натуральном n число xⁿ + также является целым.

   Решение

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

   Решение

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На рёбрах BC , CD и AD тетраэдра ABCD объёма V взяты соответственно точки L , M и N , причём 3BL = BC , 4CM = CD и 5DN = AD . Найдите объём тетраэдра NMLB .

Решение

Пусть AA1 – высота тетраэдра ABCD , а DP и MQ – высоты треугольников BCD и BCM . Тогда высота NN1 тетраэдра NMLB равна AA1 , а MQ =DP . Тогда

V_NMLB = S_{Δ MLB}· NN1 = · (BL· MQ)· AA1= · ( · BC· DP) · AA1 =

=(· · ) · · (BC· DP) · AA1 = · (S_{Δ BCD}· AA1) = V.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования