Задача 110430

Темы:    [ Правильная призма ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 (AA1|| BB1 || CC1) угол между прямыми AC1 и A1B равен α , AA1 = 2 . Найдите AB .

Решение

Через вершину A проведём прямую, параллельную диагонали BA1 боковой грани ABB1A1 . Пусть эта прямая пересекает продолжение ребра A1B1 в точке M . Обозначим через a сторону основания призмы. Четырёхугольник AMA1B – параллелограмм, поэтому MA1=AB = A1B1 = a . Из равнобедренного треугольника MA1C1 с боковыми сторонами A1M=A1C=a и углом 120^o между ними находим, что MC1=a . Прямая AM параллельна прямой BA1 , поэтому угол между прямыми AC1 и A1B равен углу между прямыми AC1 и AM , т.е. α . Из прямоугольных треугольников AA1M и AA1C1 находим, что

AM= = , AC1= = .
Рассмотрим равнобедренный треугольник AMC1 . По теореме косинусов
MC12 = AM2+AC12-2AM· AC1 cos MAC1,
или
3a2 = 2(a2+4)- 2(a2+4) cos α,
откуда
a2 = = = .
Следовательно,
AB=x=.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8616