Задача 110442

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 30^o . Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

Решение

Пусть A1 , B1 и C1 – основания перпендикуляров, опущенных из основания O высоты DO пирамиды ABCD на стороны соответственно BC , AC и AB основания ABC , причём BC=12 , AC = 5 , AB = 13 . По теореме о трёх перпендикулярах DB1 AC , DC1 AB и DA1 BC . Значит, DB1 , DC1 и DA1 – высоты боковых граней пирамиды. По условию задачи ODB1 = ODC1= ODA1 . Прямоугольные треугольники ODB1 , ODC1 и ODA1 равны по катету и прилежащему острому углу, значит, OB1=OC1=OA1 , т.е. точка O равноудалена от прямых, на которых лежат стороны треугольника ABC . Следовательно, O – либо центр вписанной окружности этого треугольника (рис.1), либо центр его вневписанной окружности (рис.2). Обозначим ODB1 = ODC1= ODA1 = α 30^o . Заметим, что треугольник ABC – прямоугольный ( AC2+BC2 = 25+144 = 169 = 132 = AB2 ), причём ACB = 90^o . Пусть r – радиус его вписанной окружности, а r_a , r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC , AC и AB соответственно, S – площадь треугольника ABC , p – его полупериметр. Тогда

S = AC· BC = · 5· 12 = 30,

p=(AC+BC+AB) = (5+12+13)=15, r= = =2,

r_a = = = 10, r_b = = = 3, r_c = = = 15.
Если h , h_a , h_b и h_c высоты пирамиды соответствующей каждому из рассмотренных случаев, то
h=r ctg α, h_a=r_a ctg α, h_b=r_b ctg α, h_c=r_c ctg α.
Поскольку в каждом из этих случаев площадь основания пирамиды одна и та же, объём пирамиды максимален, если максимальна её высота. В свою очередь, максимальная высота соответствует максимальному из найденных четырёх радиусов, т.е. r_c=15 . Поэтому
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DO = S· h_c = · 30· 15 ctg α = 150 ctg α,
а т.к. α 30^o , то ctg α ctg 30^o = . Следовательно, V_ABCD 150 , причём равенство достигается, если радиус равен r_c , а α=30^o .

Ответ

150 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8628