Задача 110451

Темы:    [ Правильная призма ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В правильной треугольной призме BCDB1C1D1 ( BB1 || CC1 || DD1 ) известно, что BB1:BC=5:3 . На боковых рёбрах BB1 , CC1 и DD1 взяты точки L , M и N соответственно, причём BL:LB1=3:2 , CM:MC1=2:3 , DN:ND1=1:4 . Найдите двугранный угол между плоскостями LMN и BCD .

Решение

Положим BB1=5a , BC=3a . Тогда

BL=BB1 = · 5a = 3a, CM=CC1 = BB1 = 2a,

DN=DD1 = BB1 = a.
Пусть прямые LM и BC пересекаются в точке P , а прямые LN и BD – в точке Q . Из подобия треугольников PCM и PBL следует, что
= , или=.
Осюда находим, что PC = 6a . Аналогично находим, что DQ = a . Тогда
BP=BC+CP = 3a+6a=9a, BQ = BD+DQ = 3a+a = a.
Значит, в треугольнике PBQ известно, что
PBQ = 60^o, BP =9a, BQ=a.
Поскольку BP=2BQ и PBQ = 60^o , треугольник PBQ – прямоугольный, BQP = 90^o . Значит, BQ PQ , а т.к. BQ – ортогональная проекция наклонной LQ на плоскость BCD , то по теореме о трёх перпендикулярах LQ PQ . Следовательно, LQB – линейный угол двугранного угла между плоскостями LMN и BCD . Из прямоугольного треугольника LBQ находим, что
tg LQB = = = .

Ответ

arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8647