Задача 110473

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Сфера, вписанная в двугранный угол ] [ Касающиеся сферы ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 – центры шаров радиусов 1, 2 и 5 соответственно, α – биссекторная плоскость угла между данными плоскостями. Тогда точки O1 , O2 , O3 лежат в плоскости α , а так как линия центров двух касающихся шаров проходит через их точку касания, то стороны треугольника O1O2O3 равны 3, 6 и 7 (рис.1). По формуле Герона находим, что

S_{Δ O}1O2O3 = = = 4.
Пусть A , B и C – точки касания шаров радиусов соответственно 1, 2 и 5 с одной из данных плоскостей. Прямые O1A и O2B перпендикулярны этой плоскости как радиусы, проведённые в точки касания шаров с плоскостью, значит, прямые O1A и O2B лежат в одной плоскости, а в сечении шаров этой плоскостью мы увидим две касающиеся окружности радиусов 1 и 2 и их общую касательную AB (рис.2). Тогда
AB= 2 = 2 = 2.
Аналогично находим, что AC = 2 и BC=2 . По формуле Герона
S_{Δ ABC} = =

== =

= = = .
Пусть угол между данными плоскостями равен ϕ . Тогда по теореме о площади ортогональной проекции треугольника S_{Δ ABC} = S_{Δ O}1O2O3 cos , откуда
cos = = .
Пусть D – точка касания первого шара со второй из данных плоскостей. Рассмотрим сечение двугранного угла между данными плоскостями, проведённое через прямые O1A и O1D . Получим линейный угол APD двугранного угла и вписанную в него окружность радиуса 1 (рис.3). Поскольку ADO1= APO1= , из равнобедренного треугольника AO1D находим, что
AD = 2O1A cos = 2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8669