Задача 110477

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Отношение объемов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ( ABCD и A1B1C1D1 – основания, AA1|| BB1|| CC1|| DD1 ) отрезки M1N1 , M2N2 , M3N3 – общие перпендикуляры к парам отрезков A1C1 и AB1 , BC1 и AC , DC1 и AD1 соответственно. Объём параллелепипеда равен V , радиус описанной сферы равен R , а сумма длин рёбер AA1 , AB и AD равна m . Найдите сумму объёмов пирамид AA1M1N1 , ABM2N2 и ADM3N3 .

Решение

Обозначим = , = = , AD=a , AB=b , AA1=c . Из условия задачи следует, что

· = · = · =0, · =a2, · =b2, · =c2,


Пусть точка M1 лежит на прямой AB1 , а точка N1 – на прямой A1C1 . Обозначим =α , =β . Тогда
= + = +, = + = +,

= + + = -α + + β =

=-α(+)++β(+)= β +(β-α)+(1-α),
а т.к. M1N1 AB1 и M1N1 A1C1 , то · =0 и · =0 , или

Учитывая, что
· = · = · =0, · =a2, · =b2, · =c2,
после очевидных упрощений получим систему

из которой находим, что

Объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин двух его противоположных рёбер на расстояние между ними и на синус угла ϕ между ними, поэтому
V_AA1B1D1 = AB1· A1C1· M1N1 sin ϕ,

V_AA1M1N1 = AM1· A1N1· M1N1 sin ϕ= α AB1· β A1C1· M1N1 sin ϕ =

=α β V_AA1B1D1 = α β V= · · · abc=

= · .
Аналогично,
V_ABM2N2 = · .

V_ADM3N3= · .
Значит,
V_AA1M1N1+V_ABM2N2+V_ADM3N3 = · =

=· .
Из системы

получим, что
ab+ac+bc = ((a+b+c)2 - (a2+b2+c2)) = ,

a2b2+a2c2+b2c2 = (ab+ac+bc)2 - 2(a2bc+b2ac+c2ab) =

=(ab+ac+bc)2 - 2abc(a+b+c) = ()2-2Vm,

a4b4+b4c4+a4c4=(a2b2+b2c2+a2c2)2 - 2(a4b2c2+b4a2c2+c4b2c2)=

=(a2b2+a2c2+b2c2)2-2a2b2c2(a2+b2+c2)=

=(()2-2Vm)2-2V2· 4R2= (()2-2Vm)2-8V2R2.
Следовательно,
V_AA1M1N1+V_ABM2N2+V_ADM3N3 = · =

=· =

=· = V - V3R2 (()2 - 2Vm)^-2.

Ответ

V - V3R2 (()2 - 2Vm)^-2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8673