Задача 110485

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11 Название задачи: Равногранный тетраэдр.

Условие

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

Решение

Автор: Гордин Р.К.

(5) (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720^o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180^o . Обратное: (6) (5) – очевидно. (4) (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .

(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.

(8) (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,

BDC + CDA + ADB = BAC+ CBA + ACB = 180^o.
Аналогично для всех других вершин.

(6) (7) . Развёртка произвольного тетраэдра ABCD – шестиугольник D1AD2BD3C , разбитый на три треугольника (рис.3). Из (6) следует, что отрезки D1A и AD2 , D2B и BD3 , D3C и CD1 лежат на одной прямой, т.е. точки A , B и C – середины сторон треугольника D1D2D3 (рис.). Этот треугольник остроугольный, т.к. в трёхгранном угле при вершине D тетраэдра каждый из плоских углов меньше суммы двух других.

(7) (8) , (7) (2) , (2) (3) , (3) (1) – очевидно. (1) (9) . Заметим, что если p1 и p2 – параллельные плоскости, AK и BH – два отрезка, концы A и B которых лежат в плоскости p1 , а концы K и H – в плоскости p2 , то отрезки AK и BH равны тогда и только тогда, когда равны их проекции на плоскость p1 (или p2 ). Это можно доказать с помощью теорема Пифагора (рис.4). Проведём параллельные плоскости если p1 и p2 через рёбра AB и CD тетраэдра. Пусть C1 и D1 – проекции точек C и D на плоскость p1 (рис.5), O – точка пересечения C1D1 и AB . Если площади треугольников CAD и CBD равны, то равны и высоты AK и BH этих треугольников, следовательно, равны проекции этих высот на плоскость p1 : AK1=BH1 , и поэтому AO = OB (рис.). Отсюда следует, в частности, что точки A и B лежат по разные стороны от прямой C1D1 . Точно так же, поскольку площади треугольников ACB и ADB равны, C1O=D1O . Следовательно, AC1BD1 – параллелограмм, т.е. AC1=BD1=C1D1 и C1B=D1A , откуда AC=BD и BC=AD . Точно так же доказывется, что AB=CD , поэтому AC1BD1 – прямоугольник. (9) (7) – очевидно.

(14) (3) . Пусть в треугольной пирамиде ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B и C равны по 180^o . Рассмотрим развёртку D1AD2BD3C пирамиды ABCD на плоскость треугольника ABC (рис.3), причём точки D1 , D2 и D3 – вершины треугольников с основаниями AC , AB и BC соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B и C тетраэдра ABCD равны по 180^o , точка A лежит на отрезке D1D2 , точка B – на отрезке D2D3 , а точка C – на отрезке D1D3 , причём A , B и C – середины этих отрезков. Поэтому AB , BC и AC – средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, треугольники D1AC , AD2B , CBD3 и CBA равны. Следовательно, равны и треугольники DAC , ADC , CBD и BCA .

(3) (14) очевидно. (15) (3) . Пусть в тетраэдре ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B равны по 180^o и AB = CD . Рассмотрим развёртку D1AD2BD3C пирамиды ABCD на плоскость треугольника ABC (рис.6), причём точки D1 , D2 и D3 – вершины треугольников с основаниями AC , AB и BC соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A и B тетраэдра ABCD равны по 180^o , точка A лежит на отрезке D1D2 , а точка B – на отрезке D2D3 , причём A и B – середины этих отрезков. Поэтому AB – средния линия треугольника D1D2D3 . Значит,
CD1 + CD3 = AB + AB = 2AB = D1D3,
что возможно лишь в случае, когда точка C лежит на отрезке D1D3 , причём C – середина D1D3 (рис.3). Тогда AC и BC – также средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, треугольники D1AC , AD2B , CBD3 и BCA равны. Следовательно, равны и треугольники DAC , ADC , CBD и BCA . Пусть в тетраэдре ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B равны по 180^o и AC = BD . Предположим, что точки C и D2 лежат по разные стороны от прямой D1D3 (рис.7). Возьмём середину K отрезка D1D3 . Тогда AK – средняя линия треугольника D1D2D3 , поэтому AK=BD2=AC , т.е. треугольник AKC – равнобедренный. Поскольку CD1=CD3 , треугольник D1CD3 – также равнобедренный, поэтому его медиана CK является высотой. Тогда AKC > D1KC = 90^o , что невозможно, т.к. AKC – угол при основании равнобедренного треугольника AKC . Пусть теперь точки C и D2 расположены по одну сторону от прямой D1D3 (рис.8). Продолжим KC до пересечения с AB в точке M . Так как CK D1D3 и AB || D1D3 , то ACK>90^o как внешний угол прямоугольного треугольника AMC . Что также невозможно. Таким образом, точка C лежит на отрезке D1D3 , причём C – середина этого отрезка. Тогда AB , BC и AC – средние линии треугольника D1D2D3 . Значит, треугольники D1AC , AD2B , CBD2 и BCA равны. Следовательно, равны и треугольники DAC , ADB , CBD и BCA . Аналогично для случая, когда в тетраэдре ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A , B равны по 180^o и BC = AD .

(3) (15) , (11) (1) и (1) (11) – очевидно. (2) (10) и (10) (2) – очевидно. (2) (10) . Пусть AB = CD , AC = BD и AD = BC . Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.9). Так как KL = CD , то KL = AB , поэтому параллелограмм AKBL – прямоугольник. Аналогично, остальные грани параллелепипеда AKBLNDMC – прямоугольники, т.е. параллелепипед – прямоугольный.

(12) (10) Известно, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке, причём эта точка совпадает с точкой пересечения медиан тетраэдра. Пусть O – точка пересечения медиан тетраэдра ABCD и одновременно – центр его описанной сферы (рис.10). Тогда OD=OC и OA=OB , поэтому высоты равнобедренных треугольников COD и AOB , проведённые из их общей вершины O , проходят через середины K и L рёбер CD и AB , а т.к. точки K , L и M лежат на одной прямой, то KL AB и KL CD . Аналогично докажем, что остальные два отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, перпендикулярны этим рёбрам. Тогда, если достроить тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то отрезки, соединяющие центры противоположных граней параллелепипеда, будут перпендикулярны этим граням. Следовательно, параллелепипед – прямоугольный.

(10) (12) . Пусть параллелепипед AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), полученный в результате достроения тетраэдра ABCD указанными в условии способом, – прямоугольный (рис.9). Центр O сферы, опсанной около этого параллелепипеда, есть точка пересечения его диагоналей, т.е. середина каждой диагонали. Известно, что диагональ AM проходит через точку G пересечения медиан треугольника DBC и делится этой точкой в отношении = . Значит, AG – медиана тетраэдра и
= = = = 3.
Следовательно, O – точка пересечения медиан тетраэдра ABCD .

(13) (11) . Пусть O центр вписанной сферы радиуса r и в то же время O – точка пересечения медиан тетраэдра ABCD (рис.11). Если M – точка пересечения медиан треугольника ABC , то = 4 . Если DT – высота тетраэдра, а L – проекция точки O на плоскость основания ABC , то треугольники DTM и OLM подобны, поэтому DT=OL· = 4r . Аналогично докажем, что остальные высоты тетраэдра также равны 4r .

Замечания

Ниже приведена оригинальная формулировка задачи М9 из "Задачника Кванта":

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдром мы называем произвольную треугольную пирамиду):

i) все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;

ii) каждое ребро равно противоположному;

iii) все грани равны;

iv) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

v) для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180°.

Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Постарайтесь найти другие эквивалентные им свойства тетраэдра.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8681
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М9