Задача 110495

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Построение сечений ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через вершину C и середину стороны B1C1 основания A1B1C1 и параллельной диагонали AC1 боковой грани AA1C1C , если расстояние между прямой AC1 и секущей плоскостью равно 1, а сторона основания призмы равна .

Решение

Обозначим через a сторону основания призмы ( a= ). Плоскость боковой грани AA1C1C проходит через прямую AC1 , параллельную секущей плоскости, и имеет с ней общую точку C , поэтому прямая l пересечения этих плоскостей параллельна прямой AC1 . Пусть прямая l пересекается с прямыми A1C1 и AA1 в точках P и Q соответственно. Тогда C1P = AC=A1C1= a как противоположные стороны параллелограмма ACPC1 . Аналогично AQ=CC1=AA1 . Значит, AC1 – средняя линия треугольника PA1Q . Пусть M – середина B1C1 , а прямая PM пересекает ребро A1B1 в точке N . Через вершину B1 проведём прямую, параллельную A1C1 , и продолжим PM до пересечения с этой прямой в точке T . Из равенства треугольников TMB1 и PMC1 следует, что TB1=PC1=a , а из подобия треугольников TNB1 и PNA1 – = = . Пусть прямая NQ пересекает ребро AB в точке L . Тогда AL – средняя линия треугольника NQA1 , поэтому

AL = A1N = · A1B1 = A1B1 = AB,
а сечение призмы данной плоскостью – трапеция MNLC . Найдём площадь ортогональной проекции сечения на плоскость основания ABC . Пусть N' и M' – проекции точек N и M на эту плоскость. Тогда M' – середина BC , а точка N' такова, что = , значит,
S' = S_LN'M'C = S_{Δ BLC} - S_{Δ BN'M'} = S_{Δ ABC}- · S_{Δ ABC} =

=S_{Δ ABC}-· S_{Δ ABC} = S_{Δ ABC} = = .
Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из точки C1 на прямую MP . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CK PM , причём прямая CK лежит в секущей плоскости, поэтому CKC1 – линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью основания призмы. Обозначим CKC1 = ϕ . Из треугольника MC1P по теореме косинусов находим, что
MP = = = .
Записав площадь треугольника MC1P двумя способами, получим, что
C1K = = = .
Если C1H – высота прямоугольного треугольника CC1K , то расстояние между прямой AC1 и секущей плоскостью равно длине отрезка C1H , т.е. C1H=1 . Из прямоугольного треугольника CC1K находим, что
sin ϕ = = = , cos ϕ = .
Следовательно, если S – искомая площадь сечения, то
S = = =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8692