Условие
В пирамиде
ABCD длина отрезка
BD равна
,
точка
E – середина
AB , а
F – точка пересечения медиан
грани
BCD , причём
EF=8
. Сфера радиуса 5 касается плоскостей
ABD и
BCD в точках
E и
F соответственно. Найдите
двугранный угол между гранями
ABD и
BCD , площадь грани
BCD и объём пирамиды
ABCD .
Решение
Пусть
O – центр сферы (рис.1). Поскольку радиусы
OE и
OF проведены
в точки касания сферы с плоскостями
ABD и
BCD , прямая
OE перпендикулярна
плоскости
ABD , а прямая
OF – плоскости
BCD , значит,
OE 
BD и
OF BD , а также
OE DE и
OF DF .
Пусть плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые
OE и
OF пересекает
прямую
BD в точке
H . Поскольку прямая
BD перпендикулярна пересекающимся
прямым
OE и
OF этой плоскости, плоскость
OEF перпендикулярна прямой
BD ,
значит,
EHF – линейный угол двугранного угла между гранями
ABD и
BCD .
Положим
EHF = 2
α .
Из равенства отрезков
DE и
DF (отрезки касательных, проведённых к сфере из
одной точки) следует равенство прямоугольных треугольников
EHD и
FHD (по катету и гипотенузе),
значит,
EH=FH . Таким образом, в четырёхугольнике
OEHF (рис.2) точки
O и
H равноудалены
от концов диагонали
EF , поэтому
HO EF и диагональ
OH проходит через
середину
K диагонали
EF . Тогда
OEK = EHO = 
EHF = α,
cos α = 
= 
.
Следовательно,
cos 2α = 2 cos2 α - 1 = 2· 
-1 =
-1=
.
Из прямоугольного треугольника треугольника
HKF находим, что
FH = 
= 
=
= 
=
.
Поскольку
FH BD , отрезок
FH – высота треугольника
DBF , а т.к.
F –
точка пересечения медиан треугольника
BCD , то
SΔ BDC = 3SΔ BDF = 3· BD· FH =
· · = 25.
Поскольку
EH BD , отрезок
EH – высота треугольника
BED , а т.к.
E –
середина ребра
AB и
EH=FH= , то
SΔ ABD = 2SΔ BDE = 2· BD· EH =
· = 
.
Вопользуемся формулой
V=
· 
,
где
V – объём тетраэдра,
S1
и
S2
– площади двух его граней,
ϕ – угол между этими гранями,
a –длина их общего ребра. В нашем
случае
VABCD = · 
=
· 
=
.
Ответ
arccos = arcsin 
; 25;
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8695 |
