Задача 110529

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Правильная пирамида ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, двугранный угол между боковыми гранями равен arccos ⁷/₃₂. Точки A₁ и B₁ – середины рёбер AD и BD соответственно, BC₁ – высота в треугольнике DBC. Найдите:
  1) угол между прямыми AB и B₁C₁;
  2) площадь треугольника A₁B₁C₁;
  3) расстояние от точки B до плоскости A₁B₁C₁;
  4) радиус вписанного в пирамиду A₁B₁C₁D шара.

Решение

Пусть DH – высота пирамиды, M – середина AB . Прямая CD перпендикулярна двум пересекающися прямым AB и BC1 плоскости AC1B , поэтому AC1B – линейный угол двугранного угла между гранями ADC и BDC . Обозначим AC1B = γ . По условию задачи cos γ = . Кроме того, BC1 CD и AC1 CD , значит, прямоугольные треугольники DC1B и DC1A равны по катету и гипотенузе, поэтому AC1B – равнобедренный треугольник. Подставив значение cos γ в формулу cos γ = , получим уравнение = , из которого находим, что tg = . Из равнобедренного треугольника AC1B находим, что

MC1 = = .
Обозначим DCH = α . Тогда
sin α = = = =,

cos α = = = , tg α = = .
Из прямоугольных треугольников CDH и BDC1 находим, что
DH = CH tg α = 2· = , DC = = = = 5,

BC1 = = = .
Тогда
DC1 = = = .
Поскольку B1C1 – медиана прямоугольного треугольника BC1D ,
B1C1 = DB = DC = .
Треугольник A1DC1 равен равнобедренному треугольнику B1DC1 по двум сторонам и углу между ними, поэтому A1C1 = B1C1 = . Обозначим A1B1C1 = ϕ . Поскольку A1B1 || AB , угол между прямыми AB и B1C1 равен углу между прямыми A1B1 и B1C1 . Из равнобедренного треугольника A1B1C1 находим, что
cos ϕ = == .
Тогда sin ϕ = и
S_{Δ A}1B1C1 = A1B1· B1C1 sin ϕ = · 3· · = 3.
Пусть h – расстояние от точки B до плоскости A1B1C1 . Поскольку B1 – середина отрезка BD , расстояние от точки D до плоскости A1B1C1 также равно h . Пусть V и V1 – объёмы пирамид ABCD и A1B1C1D соответственно. Тогда
V=S_{Δ ABC}· DH = · · = · · = 3,

V1 = · · · V= · · · 3= ,
а т.к. высота пирамиды A1B1C1D равна h , то
h= = = .
Поскольку BC1 – высота треугольника BDC ,
S_{Δ BDC} = DC· BC1 = · 5· = 12.
Тогда
S_{Δ B}1DC1 = · · S_{Δ BDC}= · · 12 = .
Пусть S – площадь полной поверхности пирамиды A1B1C1D , r – радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
S=2S_{Δ A}1B1C1+2S_{Δ B}1DC1 = 2(3+).
Следовательно,
r= = = = = .

Ответ

arccos ; 3; ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8727