Задача 110552

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Две противоположные боковые грани четырёхугольной пирамиды SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна . В основаниии пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD ( AD=BC ), описанная около окружности и такая, что AB=6 , BAD= . Найдите расстояние от точки D до плоскости SAB . Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник SCD , а вершина принадлежит грани SAB . Найдите объём конуса.

Решение

Поскольку плоскости противоположных боковых граней SAD и SBC (рис.1) перпендикулярны плоскости основания пирамиды, прямая l их пересечения также перпендикулярна плоскости основания и проходит через общую точку S плоскостей SAD и SBC , а т.к. точка H пересечения прямых AD и BC – также общая точка этих плоскостей, то прямая l совпадает с прямой SH , значит, SH – высота пирамиды. Окружность с центром O , вписанная в равнобедренную трапецию ABCD , является также вписанной окружностью равностороннего треугольника AHB со стороной AB=6 . Если r – радиус окружности, а M и N – середины AB и CD соответственно, то

MN = 2r = 2· HM= 2· · = 2· · = 2.
Прямая CD параллельна прямой AB , лежащей в плоскости ABS , поэтому прямая CD параллельна этой плоскости, значит, расстояние от точки D до плоскости ABS равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой CD , в частности, от точки N . Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки N на прямую SM . Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым HM и SM плоскости SMH , прямая AB перпендикулярна плоскости SNM , значит, PN AB и NP – перпендикуляр к плоскости ASB . Следовательно, расстояние от точки D до плоскости SAB равно длине отрезка NP . Рассмотрим прямоугольный треугольник SMH (рис.3). Обозначим SMH = α . Тогда
ctg α = = , sin α = = = .
Следовательно,
PN = MN sin α = 2· = .
Из подобия треугольников DHC и AHB находим, что
CD = AB· = 6· = 2.
Тогда
HC=HD=CD = 2, SD=SC = = = 3.
Из прямоугольных треугольников SHM и SHN находим, что
SM = = = 4, SN = = = 2.
Пусть Q – центр окружности основания конуса, о котором говорится в условии задачи, R – радиус этой окружности, p – полупериметр треугольника CSD . Так как окружность основания конуса есть вписанная окружность треугольника CSD , то
R= = = = .
Пусть перпендикуляр, восставленный точки Q к отрезку SN , пересекает отрезок SM в точке E . Тогда EQ – высота конуса. Обозначим MSN = β (рис.3). По теореме косинусов
cos β = = = .
Тогда
tg β = = = .
Из прямоугольного треугольника SQE находим, что
EQ = SQ tg β = · = .
Пусть V – объём конуса. Тогда
V=π R2· EQ = π · ()2· = .

Ответ

, .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8751