ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110739
Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Объем помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (ортоцентрический тетраэдр)}тогда и только тогда, когда равны произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра.

Решение

Необходимость. Пусть тетраэдр ABCD – ортоцентрический. Тогда

AB2+CD2 = AD2+BC2.

Если двугранные углы при рёбрах AB , CD , AD и BC равны α , β , γ и μ соответственно, то по теореме Бретшнейдера
AB2+CD2 + 2AB· CD ctg α ctg β = AD2+BC2 + 2AD· BC ctg γ ctg μ.

Поэтому
AB· CD ctg α ctg β = AD· BC ctg γ ctg μ,

а т.к. по теореме синусов для тетраэдра
= ,

то
cos α cos β = cos γ cos μ.

Достаточность. Пусть двугранные углы при рёбрах AB , BC , AD и BC тетраэдра ABCD равны α , β , γ и μ соответственно и при этом cos α cos β = cos γ cos μ . По теореме синусов для тетраэдра
= .

Поэтому
AB· CD ctg α ctg β = AD· BC ctg γ ctg μ,

По теореме Бретшнейдера
AB2+CD2 + 2AB· CD ctg α ctg β = AD2+BC2 + 2AD· BC ctg γ ctg μ.

Значит,
AB2+CD2 = AD2+BC2.

Аналогично,
AB2+CD2 = AC2+BD2.

Поэтому
AB2+CD2 = AD2+BC2= AC2+BD2.

Следовательно, тетраэдр ABCD – ортоцентрический.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8092

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .