Задача 110742

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Плоскости диагональных сечений пирамиды, основанием которой является параллелограмм, взаимно перпендикулярны. Докажите, что суммы квадратов площадей противоположных боковых граней равны между собой.

Решение

Пусть основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD с центром O , α – угол между полуплоскостями ASC и ABC , β – угол между полуплоскостями BSD и ABD , а 4s , 2p и 2q – площади параллелограмма ABCD и треугольников ASC и BSD соответственно. Применяя теорему косинусов для тетраэдра к тетраэдрам OASB , OCSD , OBSC и OASD и учитывая перпендикулярность плоскостей треугольников ASC и BSD получим равенства

S2_{Δ ASB} = s2+p2+q2 - 2sp cos α -2sq cos β,

S2_{Δ CSD} = s2+p2+q2 - 2sp cos (180^o -α) -2sq cos (180^o -β),

S2_{Δ BSC} = s2+p2+q2 - 2sp cos α -2sq cos (180^o -β),

S2_{Δ ASD} = s2+p2+q2 - 2sp cos (180^o -α) -2sq cos β.
Поэтому
S2_{Δ ASB}+S2_{Δ CSD} = 2(s2+p2+q2), S2_{Δ BSC}+S2_{Δ ASD} = 2(s2+p2+q2).
Следовательно,
S2_{Δ ASB}+S2_{Δ CSD} = S2_{Δ BSC}+S2_{Δ ASD}.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8095