Задача 110743

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Известно, что плоскости треугольников ASC и BSD перпендикулярны друг другу. Найдите площадь грани ASD , если площади граней ASB , BSC и CSD равны соответственно 5, 6 и 7.

Решение

Пусть α – угол между полуплоскостями ASC и ABC , β – угол между полуплоскостями BSD и ABD , а 4s , 2p и 2q – площади параллелограмма ABCD и треугольников ASC и BSD соответственно, O – центр параллелограмма ABCD . Применяя теорему косинусов для тетраэдра к тетраэдрам OASB , OCSD , OBSC и OASD и учитывая перпендикулярность плоскостей треугольников ASC и BSD , получим равенства

S2_{Δ ASB} = s2+p2+q2 - 2sp cos α -2sq cos β,

S2_{Δ CSD} = s2+p2+q2 - 2sp cos (180^o -α) -2sq cos (180^o -β),

S2_{Δ BSC} = s2+p2+q2 - 2sp cos α -2sq cos (180^o -β),

S2_{Δ ASD} = s2+p2+q2 - 2sp cos (180^o -α) -2sq cos β.
Поэтому
S2_{Δ ASB}+S2_{Δ CSD} = 2(s2+p2+q2), S2_{Δ BSC}+S2_{Δ ASD} = 2(s2+p2+q2).
Следовательно,
S2_{Δ ASB}+S2_{Δ CSD} = S2_{Δ BSC}+S2_{Δ ASD}.
Отсюда находим, что
S2_{Δ ASD} = S2_{Δ ASB}+S2_{Δ CSD} - S2_{Δ BSC}= 25+49-36 = 38.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8096