ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110745
Темы:    [ Метод координат в пространстве ]
[ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.

Решение

Пусть ABCD – прямоугольник со сторонами AB=a и AD=b . Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX по лучу AB , ось OY – по лучу AC , а ось OZ по лучу с началом в точке A и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть M(x;y;z) – произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;b;0) и D(0;b;0) :

MA2 = (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2 = x2+y2+z2,


MB2 = (x-a)2+(y-0)2+(z-0)2 = (x-a)2+y2+z2,


MC2 = (x-a)2+(y-b)2+(z-0)2 = (x-a)2+(y-b)2+z2,


MD2 = (x-0)2+(y-b)2+(z-0)2 = x2+(y-b)2+z2.

Следовательно,
MA2 +MC2 = (x2+y2+z2)+ ((x-a)2+(y-b)2+z2)=


=((x-a)2+y2+z2) + (x2+(y-b)2+z2) = MB2+MD2.

Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8098

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .