Задача 110745

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки пространства до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.

Решение

Пусть ABCD – прямоугольник со сторонами AB=a и AD=b . Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX по лучу AB , ось OY – по лучу AC , а ось OZ по лучу с началом в точке A и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть M(x;y;z) – произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;b;0) и D(0;b;0) :

MA2 = (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2 = x2+y2+z2,

MB2 = (x-a)2+(y-0)2+(z-0)2 = (x-a)2+y2+z2,

MC2 = (x-a)2+(y-b)2+(z-0)2 = (x-a)2+(y-b)2+z2,

MD2 = (x-0)2+(y-b)2+(z-0)2 = x2+(y-b)2+z2.
Следовательно,
MA2 +MC2 = (x2+y2+z2)+ ((x-a)2+(y-b)2+z2)=

=((x-a)2+y2+z2) + (x2+(y-b)2+z2) = MB2+MD2.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8098