|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABH, где H – ортоцентр треугольника ABC. Прямые AP, BP пересекают противоположные стороны треугольника в точках A', B'. Найдите геометрическое место середин отрезков A'B'.
Решение
Пусть AA1, BB1 – высоты треугольника ABC. Тогда ∠A'AA1 = ∠PAH = ∠PBH = ∠B'BB1. Следовательно, треугольники A'AA1 и B'BB1 подобны. Далее можно рассуждать по разному.
Первый способ. Отсюда следует, что отношение A'A1 : B'B1 не зависит от точки P. Значит, когда точка A' движется по прямой BC с постоянной скоростью, точка B' движется по прямой AC также с постоянной скоростью и середина отрезка A'B' тоже движется по прямой. Взяв в качестве P точки пересечения окружности с AC и BC, отличные от вершин треугольника, убеждаемся, что эта прямая совпадает с A1B1 (см. рис.).
Второй способ. Коэффициент подобия равен AA1/BB1 = AC/BC. Таким образом, A1A' : B1B' = AC : BC, a значит, отношение расстояний от A' и B' до A1B1 равно A'A1 sin∠CA1B1 : B'B1 sin∠CB1A1 = AC sin∠A : BC sin∠B = 1 : 1, то есть середина A'B' лежит на A1B1. Наоборот, для каждой точки на прямой A1B1 можно построить отрезок A'B', соединяющий стороны угла BAC, который делится этой точкой пополам. Тогда AA' : BB' = AC : BC, и все рассуждения проходят в обратную сторону.
Ответ
Внутренность отрезка A1B1, где AA1 и BB1 – высоты треугольника ABC.
