ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110767
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тахаев С.

Дан треугольник ABC. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABH, где H – ортоцентр треугольника ABC. Прямые AP, BP пересекают противоположные стороны треугольника в точках A', B'. Найдите геометрическое место середин отрезков A'B'.


Решение

  Пусть AA1, BB1 – высоты треугольника ABC. Тогда  ∠A'AA1 = ∠PAH = ∠PBH = ∠B'BB1.  Следовательно, треугольники A'AA1 и B'BB1 подобны. Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ. Отсюда следует, что отношение  A'A1 : B'B1  не зависит от точки P. Значит, когда точка A' движется по прямой BC с постоянной скоростью, точка B' движется по прямой AC также с постоянной скоростью и середина отрезка A'B' тоже движется по прямой. Взяв в качестве P точки пересечения окружности с AC и BC, отличные от вершин треугольника, убеждаемся, что эта прямая совпадает с A1B1 (см. рис.).

  Второй способ. Коэффициент подобия равен  AA1/BB1 = AC/BC. Таким образом,  A1A' : B1B' = AC : BC,  a значит, отношение расстояний от A' и B' до A1B1 равно   A'A1 sin∠CA1B1 : B'B1 sin∠CB1A1 = AC sin∠A : BC sin∠B = 1 : 1,  то есть середина A'B' лежит на A1B1. Наоборот, для каждой точки на прямой A1B1 можно построить отрезок A'B', соединяющий стороны угла BAC, который делится этой точкой пополам. Тогда  AA' : BB' = AC : BC,  и все рассуждения проходят в обратную сторону.


Ответ

Внутренность отрезка A1B1, где AA1 и BB1 – высоты треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2007
Класс
Класс 9
задача
Номер 94

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .