ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110769
Темы:    [ Индукция в геометрии ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Куб ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Куб с ребром 2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера 2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Решение

Разрежем куб плоскостями, параллельными какой-нибудь грани, на слои (2n+1)x (2n+1)x 1 . Так как любой полукирпич 2x 2x 1 пересекает каждый слой по четному числу единичных кубиков, в каждом слое должен содержаться хотя бы один кубик, т.е. общее число кубиков не меньше, чем 2n+1 . Покажем по индукции, что разрезание с 2n+1 единичным кубиком существует. Предположим, что куб с ребром 2n-1 разрезать требуемым образом можно. Рассмотрим оболочку, которая получается, если из куба с ребром 2n+1 удалить все внутренние кубики. Если удалить из этой оболочки два кубика, стоящие в противоположных углах, то оставшуюся часть можно разбить на 6 квадратов 2nx 2nx 1 , каждый из которых содержит один из оставшихся угловых кубиков. Следовательно, оболочку можно разрезать на полукирпичи и два единичных кубика, а внутренность куба по предположению индукции – на полукирпичи и 2n-1 кубик.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2007
Класс
Класс 9
задача
Номер 96

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .