Задача 110769

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Куб ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Казицына Т.В., Заславский А.А.

Куб с ребром 2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера 2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Решение

Разрежем куб плоскостями, параллельными какой-нибудь грани, на слои (2n+1)x (2n+1)x 1 . Так как любой полукирпич 2x 2x 1 пересекает каждый слой по четному числу единичных кубиков, в каждом слое должен содержаться хотя бы один кубик, т.е. общее число кубиков не меньше, чем 2n+1 . Покажем по индукции, что разрезание с 2n+1 единичным кубиком существует. Предположим, что куб с ребром 2n-1 разрезать требуемым образом можно. Рассмотрим оболочку, которая получается, если из куба с ребром 2n+1 удалить все внутренние кубики. Если удалить из этой оболочки два кубика, стоящие в противоположных углах, то оставшуюся часть можно разбить на 6 квадратов 2nx 2nx 1 , каждый из которых содержит один из оставшихся угловых кубиков. Следовательно, оболочку можно разрезать на полукирпичи и два единичных кубика, а внутренность куба по предположению индукции – на полукирпичи и 2n-1 кубик.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
Класс
Класс	9
задача
Номер	96