|
|
 |
Условие
На доске был нарисован четырехугольник, в
который можно вписать и около которого можно описать окружность. В
нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых,
соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам
четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и
линейки.
Решение
Построение основано на двух леммах.
1. Диагонали всех четырехугольников, вписанных в данную окружность с центром
O и описанных около данной окружности с центром I , пересекаются в одной и
той же точке L , лежащей на продолжении отрезка OI за точку I .
2. Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на прямой, соединяющей
середины его диагоналей (Теорема Монжа).
Отметим также, что в любом четырехугольнике точка M пересечения
прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам
отрезок между серединами диагоналей.
Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырехугольника лежат на
окружности с диаметром OL . Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка M лежит
на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются I и
середина OL . Поэтому, проведя через M прямую, перпендикулярную IM , и
найдя точку ее пересечения с OI , мы получим середину OL , а значит, и саму
точку L . Далее, построив окружность с диаметром OL и найдя ее точки
пересечения с прямой MI , получим середины диагоналей четырехугольника. Кроме
того, рассмотрев четырехугольник, две вершины которого лежат на прямой OI ,
нетрудно убедиться, что для третьей вершины X XI – биссектриса угла
OXL (рис.10.6). Это дает возможность восстановить описанную окружность
четырехугольника и найти его вершины, как точки пересечения этой окружности с
диагоналями.
