Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD — вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

---

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

   Решение

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

Решение

  Рассмотрим случай, изображенный на рис. Имеем  AX = AD = BC  и  CY = CD = AB.  Кроме того,
∠BCY = ∠C – ∠DCY = ∠C – (π – 2∠CDY) = 2∠CDY – ∠D = ∠CDY – ∠ADX,  ∠BAX = ∠DAX – A = π – 2∠ADX – ∠A = ∠D – 2∠ADX = ∠CDY – ∠ADX.  Значит, треугольники ABX и CYB равны, откуда и следует искомое равенство.

  Другие случаи расположения точек X, Y рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования