Задача 110791

Темы:    [ Гомотетичные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Касающиеся окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Решение

Пусть O – центр данной окружности, O' – центр окружности, проходящей через середины сторон ABC , P – центр тяжести ABC . Поскольку вершины треугольника ABC переходят в середины его сторон при гомотетии с центром P и коэффициентом - , P лежит на отрезке OO' и делит его в отношении 2:1 . Кроме того, так как множество середин хорд, проходящих через M ,– это окружность с диаметром OM , множество центров тяжести треугольников ABC – тоже окружность, получающаяся из нее гомотетией с центром A и коэффициентом . Значит, множество точек O' – тоже окружность (рис.9.2).

Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через середины сторон ABC , равны половине радиуса данной окружности, все эти окружности касаются двух окружностей, концентричных с окружностью, на которой лежат точки O' (если точка M совпадает с O , одна из этих окружностей вырождается в точку).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	9
задача
Номер	92