Задача 110798

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Непересекающиеся окружности S1 , S2 и S3 последовательно вписаны в угол, равный 60^o . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках пересечения со сторонами этого угла общих внутренних касательных окружностей S1 и S2 и окружностей S2 и S3 , если известно, что радиус окружности S2 равен r , а разность радиусов окружностей S3 и S1 равна a .

Решение

Пусть общая внутренняя касательная окружностей S1 и S2 пересекает одну из сторон данного угла с вершиной O в точке A , вторую сторону – в точке D , касается окружности S1 в точке Q , а окружность S1 касается прямых OA и OD соответственно в точках M и N . Тогда AD = AQ+QD = AM+DN . Аналогично, если общая внутренняя касательная окружностей S3 и S2 пересекает сторону OA данного угла в точке B , вторую сторону – в точке C , касается окружности S3 в точке E , а окружность S3 касается прямых OA и OD соответственно в точках K и L , то BC = BE+EC = BK+CL . Следовательно, если p – полупериметр четырёхугольника ABCD , то

p = (AB+BC+CD+AD) = (AB+(BE+EC) + CD + (AQ+QD))=

=(AB+(BK+CL) + CD + (AM+DN))=

=(AB+BK+AM) + (DN + CD+CL))= (MK+ NL) = · 2NL = NL.
Из центра O1 окружности S1 радиуса r1 опустим перпендикуляр O1T на радиус O3L окружности S3 радиуса r3 . Из прямоугольного треугольника O1TO3 находим, что
O1T = O3T ctg O3O1T = (r3-r1) ctg 30^o = a.
Следовательно,
S_ABCD = pr = NL· r = O1T· r = a· r = ar.

Ответ

ar .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5712